Линейное программирование
Линейное программирование - одно из наиболее популярных и широко применяющихся математических средств решения экономических задач самого различного содержания. Термин ''программирование'', входящий в его название, не должен вводить в заблуждение - речь не идет о программировании электронно-вычислительных машин, хотя, конечно, в наше время задачи линейного программирования решаются, как правило, на компьютерах. Этот термин в названии восходит к общему смыслу слова ''программа'' - план, руководство к действию и как таковая, дисциплина ''линейное программирование'' представляет собой математическую теорию определения наилучших планов действия в определенных экономических ситуациях.
Что это за ситуации? В первую очередь их можно охарактеризовать наличием одной хорошо определенной цели или критерия. В этом случае не годится стремление ''чтобы все было хорошо'', цель должна измеряться в определенных единицах и однозначно определяться выбранным планом действий. Более подходящим примером может быть доход от деятельности предприятия, а планом действий в данном случае может быть производственная программа предприятия.
С точки зрения математики производственную программу предприятия в первом приближении можно записать как набор чисел 
в котором 
обозначает запланированный выпуск изделий i-го типа, n - количество типов изделий.
Если 
- доход от произведенного изделия i-го типа и каждое произведенное изделие покупается по одной и той же цене, то суммарный доход предприятия является простой суммой
,(1)
что отражает присутствие слова ''линейное'' в названии ''линейное программирование''.
Сумма (1) является линейной функцией величин и, конечно, лишь приближенно отражает экономические реалии. В этом случае при увеличении выпуска всех изделий в тысячу раз, доход предприятия возрос бы также в тысячу раз. В реальной экономике при значительном росте производства начинают сказываться такие факторы как насыщение рынка, увеличение конкуренции, рост производственных издержек и пр., что, конечно, понижает доходность и не отражается в такой простой формуле, как (1). Рост масштабов производства может не только понижать доходность, но и повышать ее - при переходе от кустарного или мелкосерийного производства к крупносерийному издержки, в расчете на одно изделие, могут уменьшаться и соответственно доходность - повышаться.
Тем не менее, в относительно стабильной экономической ситуации, при небольших изменениях объемов выпуска от одного применения этой модели к другому, линейная функция (1) может вполне удовлетворительно описывать процесс производства и потребления изделий и служить полезным инструментом экономического анализа и планирования.
Помимо описания самого критерия в линейном программировании нужно указать к чему мы, собственно говоря, стремимся. В приведенном выше примере естественным экономическим требованием является максимизация дохода предприятия, что будет записываться как
,(2)
Максимум дохода достигается за счет оптимального выбора производственной программы, что и подчеркивается в записи (2).
Возможна и другая постановка задачи линейного программирования, когда критерий не максимизируется, а минимизируется. В качестве такого критерия, например, могут выступать суммарные затраты производства, экологический ущерб, транспортные расходы и пр. Принципиально, эти задачи не отличаются от (2) и сведение их к одному типу мы будем обсуждать далее.
Другим неотъемлемым элементом экономической ситуации, где непосредственно применим подход линейного программирования, являются ограничения, налагаемые на возможные варианты планов производства.
Чаще всего это так называемые ресурсные ограничения, описывающие тот факт что
· для производства товаров приходиться тратить ресурсы;
· количество ресурсов, которое можно затратить на производство товаров, ограничено.
Если считать, что в нашем производстве используются i=1,2,…,m ресурсы (труд, различные виды сырья, энергия и т.д. ), то в модели линейного программирования эти два факта описываются с помощью коэффициентов 
, которые задают затраты i-го ресурса на производство единицы j-го продукта.