Прогнозирование объемов перевозок авиакомпании
Цель прогнозирования - определение наиболее устойчивых закономерностей и тенденций, предсказание на их основе показателей в будущем. Прогнозирование основано на информации о предшествующем состоянии системы, тенденциях и взаимосвязях, обнаруживших себя в прошлом.
Линейная зависимость выражается формулой:
yt=a+bt,
где yt - выравненное значение yt, соответствующее моменту времени t; а и b - константы, которые обращают сумму квадратов отклонений фактических значений yt от выравненных yt в минимум. Параметры а и b, обращающие сумму квадратов ∑ (yt - yt) 2 в минимум, вычисляются по формуле:
где b называют коэффициентом регрессии; он характеризует наклон линии регрессии, знак ∑ здесь и далее означает суммирование ∑
Коэффициент а называют начальным или свободным коэффициентом. Он характеризует уровень пересечения линии регрессии с осью ординат у, т.е. равен yt при t=0.
Для того чтобы найти прогноз, необходимо оценить сначала параметры линейного тренда, подставить их в исходное уравнение кривой, а затем вычислить прогноз.
Метод наименьших квадратов и процедура подбора прямой регрессии полностью переносятся и на случай, когда уравнение кривой может быть после некоторых преобразований сведено к линейному тренду.
В практике криволинейного выравнивания широко распространены два вида преобразований: натуральный логарифм (ln) и обратное преобразование (1/t). При этом, очевидно, возможно преобразование как зависимой переменной у, так и независимой t или одновременно и той, и другой.
|
Название кривой |
Уравнение |
Преобразование |
|
Экспоненциальная простая |
y’t = a ebt |
Yt = lnyt |
|
Степенная |
y’t = a tb |
Yt = lnyt Т = lnt |
|
Гиперболическая 1 типа |
y’t = a + b/t |
Т = 1/t |
|
Гиперболическая 2 типа |
y’t = 1/ (a + bt) |
Yt = 1/yt |
|
Гиперболическая 3 типа (рациональная) |
y’t = t / (a + bt) |
Yt = 1/yt Т = 1/t |
|
Логарифмическая |
y’t = a + b lnt |
Т = ln t |
|
S-образная |
y’t = ea + b/t |
Yt = lnyt Т = 1/t |
|
Обратно-логарифмическая |
y’t = 1/ (a + b lnt) |
Yt = 1/yt Т = lnt |
При выборе наилучшей кривой для прогнозирования используют средний квадрат ошибки (MSE), среднеабсолютную процентную ошибку (MAPE), коэффициент детерминации (r).
Коэффициент детерминации можно определить с помощью уравнения:
,